Der Begriff der Unendlichkeit liefert schon seit Beginn schriftlicher Überlieferungen Stoff für philosophische Überlegungen und mathematischer Betrachtungen. Je näher man sich mit der Unendlichkeit beschäftigt, umso mehr wird Selbstverständliches ad absurdum geführt. Ein recht simples Beispiel ist die Summe positiver Zahlen. Ich behaupte einfach mal, dass jeder sofort zustimmen würde, wenn ich sage, dass die Summe positiver Zahlen nie negativ oder Null sein kann.

Falsch, wie folgende Beispiele zeigen.

Beispiel 1:

Was ist das Ergebnis von …88888,888 + …11111,112? Der Präfix „…“ soll anzeigen, dass hier die Ziffernfolge unendlich fortgesetzt wird. Der erste Summand hat also unendlich mal die Ziffer „8“ vor dem Dezimalzeichen. Der zweite Summand hat demnach unendlich oft die Ziffer „1“ vor dem Dezimalzeichen. Bilden wir also die Summe:

  ...88888,888
+ ...11111,112
= ...00000,000

Die Summe hat unendlich oft die Null vor dem Dezimalzeichen. Sie ist demnach Null, obwohl die Summanden positiv sind.

Beispiel 2:

Was ist die Summe von

Ausgeschrieben sieht die Summe so aus:

         9 (für i=0)

+       99 (für i=1)

+      999 (für i=3)

+     9999 (für i=4)

=...999999 (unendlich oft die Ziffer "9")

Jeder Summand (9, 99, 999 usw.) ist positiv. Dennoch behaupte ich , dass diese Summe dem Ergebnis „-1“ entspricht. Machen wir die Probe. Das Ergebnis der Summe ist …999999. Addiert man 1 hinzu, kommt folgendes heraus.

 ...999999

+        1

=...000000

Es ist also …999999 + 1 = 0. Wenn man auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 1 subtrahiert erhält man:

...999999 + 1 = 0 | -1 auf beiden Seiten

...999999 = -1

Was zu beweisen war 🙂 Die Summe von 9, 99, 999 usw. ist negativ, nämlich -1.